数学归纳法证明的步骤

数学归纳法证明的步骤

　　在我们平凡的日常里，要用到证明的地方还是很多的，证明是持有者用以证明自己身份、经历或某事真实性的一种凭证。我们该怎么拟定证明呢？下面是小编收集整理的数学归纳法证明的步骤，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　基本步骤

　　（一）第一数学归纳法：

　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立.

　　（二）第二数学归纳法：

　　对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；

　　（2）假设n0≤nn0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立.

　　原理

　　最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

　　证明当n= 1时命题成立。

　　假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

　　这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

　　证明第一张骨牌会倒。

　　证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

　　解题要点

　　数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，第一步：验证n取第一个自然数时成立

　　第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。

　　最后一步总结表述。

　　需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：

　　证明1：所有的马都是一种颜色

　　首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。

　　第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：

　　1， 2， 3……n， n+1

　　对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；

　　对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；

　　由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。

　　这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。

　　证明2：举例证明下面的定理

　　——等差数列求和公式

　　第一步，验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1，右边=

　　=1，所以这个公式在n = 1时成立。

　　第二步，需要证明假设n = m 时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。步骤如下：

　　假设n = m 时公式成立，即

　　（等式1）

　　然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到

　　（等式2）

　　这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边

　　也就是

　　这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。

　　结论：对于任意自然数n，公式均成立。

　　对于以上例2的分析

　　在这个证明中，归纳的过程如下：

　　首先证明n=1成立。

　　然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立（这里实际应用的是演绎推理）。

　　根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1，也就是n=2 成立。

　　继续推导，可以知道n=3 成立。

　　从 n=3 成立可以推导出n=4 也成立……

　　不断重复3的推导过程（这就是所谓“归纳”推理的地方）。

　　我们便可以下结论：对于任意非零自然数n，公式成立。

　　记数学归纳法数学答题技巧

　　数学归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

　　数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数(或n≥n且n∈N)结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

　　运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

　　运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

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