高三数学不等式、推理与证明训练试题集
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．下列符合三段论推理形式的为( )
A．如果pq，p真，则q真
B．如果bc，ab，则ac
C．如果a∥b，b∥c 高考，则a∥c
D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc
解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.
答案：B
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等．
A．① B．② C．①②③ D．③
解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.
答案：C
3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )
A．假设2是有理数 B．假设3是有理数
C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数
解析：假设结论的反面成立，2＋3不是无理数，则2＋3是有理数.
答案：D
4．已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )
A．1 B．2 C．n2 D．2n
解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤a12＋b122＋a22＋b222＋…＋an2＋bn22＝1.
答案：A
5．在下列函数中，最小值是2的是( )
A．y＝x2＋2x
B．y＝x＋2x＋1(x＞0)
C．y＝sinx＋1sinx，x∈(0，π2)
D．y＝7x＋7－x
解析：A中x的取值未限制，故无最小值．
D中，∵y＝7x＋7－x＝7x＋17x≥2，等号成立的条件是x＝0.
B、C选项均找不到等号成立的条件.
答案：D
6．一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x－1＜x＜13}，则ab的值为( )
A．－6 B．6 C．－5 D．5
解析：∵ax2＋bx＋1＞0的解集是{x－1＜x＜13}，
∴－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
∴－1＋13＝－ba－1×13＝1ab＝－2，a＝－3，∴ab＝－3×(－2)＝6.
答案：B
7．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22 C．4 D．5
解析：因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b，且 1ab＝ab，即a＝b＝1时，取“＝”.
答案：C
8．在直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤k(x－1)－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：先作出y≥0，y≤2x，的平面区域如图：
若k＝0时，显然不能与阴影部分构成三角形．
若k＞0，将阴影部分的点如(0,0)代入y≤k(x－1)－1，有0≤－k－1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k＜0；又y＝k(x－1)－1是过定点(1，－1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有－k－1＞0，
故k＜－1时，原不等式组能构成三角形区域.
答案：A
9．如果a＞b，给出下列不等式，其中成立的是( )
(1)1a＜1b； (2)a3＞b3；
(3)a2＋1＞b2＋1; (4)2a＞2b.
A．(2)(3) B．(1)(3) C．(3)(4) D．(2)(4)
解析：∵a、b符号不定，故(1)不正确，(3)不正确．
∵y＝x3是增函数，∴a＞b时，a3＞b3，故(2)正确．
∴y＝2x是增函数，∴a＞b时，2a＞2b，故(4)正确.
答案：D
10．设函数f(x)＝－3 (x＞0)，x2＋bx＋c (x≤0)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞)
解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故对称轴为x＝－b2＝－2，∴b＝4.
又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，
令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；
当x＞0时，f(x)＝－2≤1显然成立．
故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).
答案：C
11．若直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是( )
A．2－2 B.2－1 C．3＋22 D．3－22
解析：由x2＋y2－2x－4y－6＝0得
(x－1)2＋(y－2)2＝11，
若2ax＋by－2＝0平 分圆，
∴2a＋2b－2＝0，∴a＋b＝1，
∴2a＋1b＝2(a＋b)a＋a＋bb＝3＋2ba＋ab
≥3＋2 2baab＝3＋22，
当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝1，即a＝2－2，b＝2－1时取等号.
答案：C
12．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
解析：由题意可设y1＝k1x，y2＝k2x，∴k1＝xy1，k2＝y2x，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＝20x ，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥2 0.8x20x＝8，
当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时等号成立，故选A.
答案：A
第Ⅱ卷 (非选择 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，53的“分裂”中最小的数是 .
解析：由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.
答案：9 21
14．由图①有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′PB′PAPB，则由图②有体积关系：VP－A′B′C′VP－ABC＝__________.
解析：设三棱锥C′-PA′B′的高为h′，
15．已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式a1－1a1＋a2－1a2＋a3－1a3＋…＋an－1an≥0成立的.最大自然数n是__________．
解析：∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝a1a2＜1，a1＝1q2＞1，
a1－1a1＋a1－1a2＋a3－1a1＋…＋an－1an
＝(a1＋a2＋…＋an)－1a1＋1a2＋…＋1an
＝a1(1－qn)1－q－1a11－1qn1－1q＝a1(1－q4)1－q－q(1－qn)a1(1－q)qn≥0，
∴a1(1－qn)1－q≥q(1－qn)a1(1－q)qn.
因为0 ＜q＜1，所以，化简得：a12≥1qn－1，即q4≤qn－1，
∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值为5.
答案：5
16．设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，则u＝yx－xy的取值范围是__________．
解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13，2，
即yx∈13，2，故令t＝yx，
则u＝t－1t，根据函数u＝t－1t在t∈13，2上单调递增，得u∈－83，32.
答案：－83，32
三、解答题：本大题共6小题，共7 0分．
17．(10分)在三角形中有下面的性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半；
(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；
(4)三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长)．
请类比出四面体的有关相似性质．
解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；新课]
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；
(4)四面体的体积为V ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积)．
18．(12分)已知a＞0，b＞0，求证b2a＋a2b≥a＋b.
解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝b2a－a＋a2b－b
＝(b＋a)(b－a)a＋(a＋b)(a－b)b
＝(a－b)(a＋b)1b－1a＝1ab(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.
19．(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－k2t＋1(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
解析：(1)由题意有1＝4－k1，得k＝3，故x＝4－32t＋1.
∴y＝1.5×6＋12xx×x－(6＋12x)－t
＝3＋6x－t＝3＋64－3t－1－t
＝27－182t＋1－t(t≥0)．
(2)由(1)知：
y＝27－182t＋1－t＝27.5－9t＋12＋t＋12.
由基本不等式
9t＋12＋t＋12≥29t＋12t＋12＝6，
当且仅当9t＋12＝t＋12，
即t＝2.5时，等号成立，
故y＝27－182t＋1－t
＝27.5－9t＋12＋t＋12≤27.5－6＝21.5.
当t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大．
20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….
(1)求a1，a2；
(2)猜想数列{Sn}的通项公式．
解析：(1)当n＝1时，
x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝12.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－12，
于是a2－122－a2a2－12－a2＝0，
解得 a2＝16.
(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代 入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①
由(1)得S1＝a1＝12，S2＝a1＋a2＝12＋16＝23.
由①可得S3＝34，由此猜想Sn＝nn＋1，n＝1,2,3，….
21．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋b x＋c的一个零点是－1，且满足[f(x)－x]f(x)－x2＋12≤0恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
解析：(1)由均值不等式得x2＋12≥2x2＝x，
若[f(x)－x]f(x)－x2＋12≤0恒成立，
即x≤f(x)≤x2＋12恒成立，
令x＝1得1≤f(1)≤12＋12＝1，故f(1)＝1.
(2)由函数零点为－1得f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，
又由(1)知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝12.
又f(x)－x＝ax2＋12x＋c－x＝ax2－12x＋c，
因为f(x)－x≥0恒成立，所以Δ＝14－4ac≤0，
因此ac≥116①
于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝12，
得ac≤c＋a22＝116②
故ac＝116，且a＝c＝14，
故f(x)的解析式是f(x)＝14x2＋12x2＋12x＋14.
22．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣 越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1，
f(3)-f(2)=8=4×2，
f(4)-f(3)=12=4×3，
f(5)-f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，
f(n-1)-f(n-2)=4(n-2)，
f(n-2)-f(n-3)=4(n-3)，
…
f(2)-f(1)=4×1，
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]
=2(n-1)n，
∴f(n)=2n2-2n+1.
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