摘要：数学思想方法是对数学本质的认识，是数学知识的精髓。新课程下注重、加强数学思想方法教学是培养学生数学素养，形成良好思维品质的关键。而数学方法论给教师在数学教学中提供了理论指导，通过对它的学习有利于教师由“经验型教学”转向“理论指导下的自觉实践”，以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。
关键词：数学方法论思想方法数学教学
数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。①数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。或者说，如何能够按照数学家的思维模式去进行思维。通过对具体数学事例的研究实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”。②
1问题的提出
随着课程改革的进行，对于我们数学教学也提出了更高的要求。《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》在总体目标重明确要求学生能够“获得适应未来社会和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学思想方法、数学活动经验）以及基本的数学思想法和必要的应用技能。”在基本理念中，也要求学生“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法……”③显然数学思想方法是数学教学目标的核心内容。因此，日常的数学教学中加强数学思想方法的渗透，培养数学的思维显得更加重要。首先，只有培养起比较完善的数学思想与数学方法，才能有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生的学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，才能把学生和教师从题海中解放出来，减轻教与学的过重负担。其次，数学是一个庞大的、有秩序的系统，对于从事初中数学教学的教师来讲，必须对数学的本质和方法有一个深入、全面的理解。这种对于数学的理解会影响到一个人的数学教学实践，进而影响到学生关于数学的理解、学习态度和应用等观念的形成。由此可见，无论从学生数学素养的培养方面和教师教学实践方面都需要教师精通数学方法论，只有熟知了这些方法论才能开展有效的数学课堂教学。
2数学方法论对数学教学的意义
2．1数学课程目标改革的必然要求
目前数学课程改革，强调情感、态度、价值观，强调数学学习的“过程与方法”，强调探究与发现。在这种理念下，要使数学新课程改得以有效的实施，教师就必须加强和重视数学方法的学习和研究，只有掌握了数学方法论的教师，才能培养出具有创新能力的学生。一位老师曾说过这样一句话：“教师走多远，你的学生就能走多远。”如果没有一双明亮的眼睛，看不清前面的道路，是无法走得长远的，而数学方法论会帮我们擦亮数学智慧的眼睛。如果没有这方面的知识储备和良好的专业训练，将很难适应今天的数学课程改革。数学新课改的成败，关键在于教师。
2．2数学课堂教学现代化的改革要求
现在的数学课堂不在是单纯的“传授式”教学，在新课标中明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”③意在进一步改变数学的教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间，关注学生数学素养的提高。而且把“具有解决问题的能力”作为有“数学素养”的一个重要的标志。而数学方法论在教学实践中以“问题解决”为中心组织教学，强调“数学的思维”，把问题作为载体，将数学思维方法的分析渗透到具体数学知识内容的教学中，使学生真正看到思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学到手的和能够加以推广应用的。这一教学理论为我们从更深的层次认识数学教学提供了理论依据，值得我们去深入学习研究。因此，为了让教师更好适应和驾驭课堂教学，必须掌握一定的数学方法论。
2．3数学教师专业化发展的客观要求
数学教师的专业发展，不仅要掌握深厚广博的数学基础，而且要了解数学发展的学科历史，掌握数学的思想方法，深刻领会数学的内在本质，理解数学的源与流，懂得其来龙去脉及数学的价值。对于从事数学教学的教师，不能不懂得数学发现的原理、规则和思想方法，它们能使我们在数学教学中更好地驾驭教材，把数学教学变得更为生动，教出方法、教出发现、教出创新。因此，数学方法论是数学教师专业发展及自身成长的必备知识。
3数学方法论在数学教学中的实践案例
在数学方法论中，重点阐述了观察、联想、尝试、试验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等。如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。
3．1数学方法论在解题教学中应用
必要的知识与知识的良好的组织是数学方法论中提及的四要素之一。记得数学大师波利亚曾说过：“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛性更为重要。至少在有些情况下，知识太多可能反而成了累赘，可能会妨碍解题者看出一条简单的途径，而良好的组织则有利而无弊。”例如现在的初三复习很大程度上是通过解题教学来实现知识巩固，同时题目的综合性较强，需要学生对于题目有一个很好的认识。在教学中通常会碰到学生对于这类题目会无从下手，或解决问题的信心不够等现象。当然这里有学生对于题目理解上的原因，关键还是他们没有把自己的经验和知识良好的组织起来，必要的反思把知识方法归类。对于初三的学生知识容量应该是够的，但是他们的知识仓库比较零乱，当需要去解决某些问题的时候往往找不到对应的“工具”。所以在初三复习中的重点我们不是多讲几个题目、多做几个练习，而应通过典型例题理清知识体系，优化知识结构。
为了让学生能形成良好的知识结构，教师在问题解决过程中应更多的暴露思维过程，通过问题的合理设置激活学生原有的知识经验，启发他们形成新的理解、新的认识。因此数学课堂教学有效开展离不开教师的合理引导，教学中突出以问题为主线，启迪学生思考，使学生在课堂中深刻的感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程，理解和认识发生和发展的必然的因果关系，从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法，最终内化为自身知识结构的重要部分。
案例1这是我在复习课上讲的一道习题。
如图所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90？SPAN，AC=8，BC=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）。将纸片沿直线D2B（AB）方向平移（点AD1D2B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移。在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。
（1）当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设D2D1平移距离为x，与重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的的值；若不存在，请说明理由。
本例的难点是问题（2），很多同学都思路受阻，如何去表示这个阴影面积呢？因此教学中设置了以下问题引导学生去分析、解决问题。
（1）看清问题
问1：不规则图形的面积计算，通常用什么方法？
生1：（有所悟）割补法，转化为规则的图形。
问2：这里有没有熟悉可计算的图形？
生2：三角形
问3：如何表示这些三角形的面积？还记得三角形面积的计算的方法吗？
这样的问题，思维指向清晰，又明确的教学目标，确定阴影面积y应该如何表示。当然这里“结果”启发式的问题沿着教师事先设置好的“轨迹”前进，缺少了一定的开放性，但关键要看这样的“问”是否调动学生参与的积极性，是否符合学生的认知水平，同时要注意问题的层次性，有易到难，前两个问题的设置有助于增强学生解题的信心。问3在此题解决中起到关键作用，学生刚开始脑海里还没合适的求三角形面积的方法，容易联想到最熟悉的公式。
问4：这些三角形的底能表示吗？高能表示吗？
生4：底比较容易分别是，高比较麻烦？
（2）绕过障碍
问5：我们不求高可否直接求三角形的面积？你有好方法吗？
生：三角形的面积计算通常用的方法还可以利用相似三角形的性质相似比的平方等于面积比。
此问引起学生认知上冲突而促进他们更深入进行思考，引导他们从知识仓库中提取用的东西，从而产生一个好的思路。把求不规则图形的问题划归为学生熟悉的求三角形问题，有利学生调动头脑中储存的关于这类问题的各种知识。同时概括了三角形面积计算的三种方法，涉及了相似，解直角三角形等有关知识点，把原来相对孤立的知识点有效的串连起来，优化学生的知识体系。
（3）解决问题
带参数的问题，通常把给定参数作为已知量运用如本题中的，表示出所需的未知量，特别注意其中相等的量。引导学生找到对应的相似三角形，尽可能多的表示出相关的线段。
这一环节学生顺着教师预设的“轨迹”到达了目的地，在这一过程中学生的知识结构得到了完善，使得他们通过对题目的重新认识，有了自己的思考和领悟。
（4）回到起点
题目解完后是否真正解决了这个问题呢？首先，在问题解决过程中学生的“疑”和教师假想的“疑”并不一定完全吻合，通过问题的回顾可对教学进行调整和优化。其次，学生的解题过程是在教师的“安排”下进行，思维有很大的直觉性和依赖性，可能顾及不到对自己思维过程进行分析、整理。所以解完后的总结反思就非常的必要。正是对于解题总结的重要性的认识，波利亚指出：“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通过考察他的工作过程和最后的解答形式。他会发现要观察认识的东西真是千变万化，层出不穷。”④
问6：解完后你对题目有没有新的发现和想法。
生5：通过上面的解答我发现利用相似比可求出三角形的高，公式也可行。
生6：Rt的三边之比非常特殊3：4：5，因此与它相似的三角形都可以利用这一特性来计算，如Rt的面积都可以利用这一特性简化计算。
生7：我发现刚才在计算可以把它们拼在一起就是一个Rt（E和F重合），而且它与Rt相似，因此利用相似比和面积比的关系计算出它们的面积。
生5，生6是在回顾解法后进一步理解了相似在求线段和面积的作用提出的一个解法，原先的障碍得到了解决，而生7是打破了原有思路的的束缚有了更为巧妙的解法，抓住不规则图形求面积的“割补”的原理。这是我没有想到的，有了他的启发下面的学生也有了更多的精彩的解答。
生10：有了他的启发Rt的面积可以这样求，因为，用上面的方法可以求出=，所以
割补方式的不同可以产生不同的方法，目的是把不规则图形转化为规则图形。生8把其转化为平行四边形是一个突破，而生8，生9则充分挖掘了平行四边形的特性，利用等底等高的面积转化方式非常巧妙，计算简便。
这节课虽然我只完成了一道例题但是学生给出了很多好的想法和思路是我没想到的，也给了我很多启发。教师在教学中如果能很好的抓住数学本质，以此为问题的载体，调动学生原有的认知，那么学生则会产生更多智慧的火花。教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生学会领会内在的思维方法。
3．2数学方法论在概念教学中应用
每一个概念的产生，都是由于知识体系扩充的需要。在教学过程中，要让学生明白为什么要产生这个概念，它有什么意义，这个概念的产生是为了解决什么问题。让学生理解概念产生的必要性。例如，在数系的扩充过程中，为什么要引入负数？我们可以这样解释：为了表示相反意义的量，向东走10米记为+10米，则向西走5米记为—5米。或者说是运算的需要4—7不够减，则引入负数得4—7=—3。后来有理数也不能满足需要了，在解方程X2=2就没有有理数解，但它的解却是客观存在的，正方形的对角线长与边长之比就是这个方程的解，但这个比不能用有理数表示，因此就添入无理数，这促使数的范围扩大到全体实数。同样，为什么要规定i2=—1？它也是有实际背景的。当n为正整数时，方程，当时总有解，但是当a0没有解。即使x2=—1这样简单的方程也没有解，一1没有平方根。这启发我们对数系作再一次的扩充，从而引入i2=—1，形成复数系。
概念的形成有两种途径：一种是直接从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的，另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而成。在教学过程中，要擅于启发学生去发现、探究新概念，提高学生学习数学的兴趣。而概念的形成本身有着一定的发展过程，凝聚着前人探索的智慧。我们不可能重复历史的“原始创造”，而应根据学生自己的体验，用自己的思维方式，重新创造出有关的数学知识，这对学生理解概念非常有意义的。一位数学家说过：“一堆没有亲身体验和视觉形象所支持的概念、定义不能开发智力，而只能关闭思路。”在概念再创造过程种，应对学生的思维给予暴露的机会，充分经历概念形成的两个阶段，从具体到抽象，再从抽象到具体，有利于学生对概念的自我意识和自我反省。
案例2在浙教版七年级图形的初步知识7。2节中，直线公理：经过两点有且仅有一条直线。即两点确定一条直线。这对于学生来说比较抽象，特别是“有且仅有”这里包含了存在性和唯一性两层含义。为了让学生理解这条公理，我设计了一个学生活动环节：
首先随机请一位学生甲起立，要求与学生甲在同一直线的学生也起立。刚开始只有学生甲周围的其他人起立，突然一位学生说：“全班起立！”，顿时所有的学生都起来了。学生发现大家都和站起的那位学生在同一直线。这一活动让学生体验了一点无法确定一条直线，而是有无数条，因为任何一名学生与学生甲都能构成一条直线。然后我随机的教了两位学生乙、丙，要求和他们在同一直线的学生起立。这时学生发现无论这两位同学在哪个位子，站起的学生都只有一列。从而在活动中让学生真正体验了“两点确定一条直线”的含义，学生亲身经历了概念的“理性重建”对它的理解将会更加的深刻，何谓“有且仅有”也形成了学生自己的经验体会。概念是从生活中抽象而来，同样概念也运用于实际。最后环节要求学生找找生活中运用直线公理的例子，从而加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握和应用。
3．3数学方法论对提升学生数学素养的作用
数学是一门使人创造性思维严格化和理论体系严谨化的科学。数学方法论强调用演绎与推理的理念，来论证概念间转换的恒等变化，从中体现准确、简洁地揭示有条件到结论严密的逻辑关系。②而缺乏演绎与推理的人，会犯“想当然”的错误。在初一起始教育的第一节课中我举了一个简单的例子来说明问题。
案例3假设我们可以沿地球赤道紧紧地拉一根绳子，打上结，此时，绳子长度与赤道相等。然后把绳子剪开，加长10米，这样绳子已不紧扣在赤道上，产生了缝隙，问该分析有多少大？
如果光凭想象去猜测，很多学生会想：赤道这么长，加长10米算不了什么，恐怕伸一只手过去都困难，似乎只能塞一张纸过去，差不多可以忽略不计，那么，缝隙到底有多少大，我们不妨计算一下。
解：设地球赤道为L，地球的半径为R，缝隙为a
实际情况让学生大吃一惊，缝隙居然有1。59米，大多说学生都可以从缝隙中走过。做事如此，做事也是如此。数学教育能培养正确的认知态度，使主观想象符合客观实际，培养学生严谨求实的个性品质。演绎与推理的理念，使人克服想当然的错误，正确认识自己，正确认识世界，这是学生走向社会的必备素质。
同时数学方法论在教学中特别指出数学史的重要性。著名数学家克莱因认为“数学史是教学的指南”。历史能揭示出数学知识的显示、来源与应用，它不仅告诉我们数学知识当时如何出现在人们头脑中的'——即如何产生的。例如直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥粱，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。可以向学生介绍数学家笛卡尔创造它的过程。据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来。他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗……。这不仅可以活跃课堂教学，激发学生的学习兴趣，还可以拓宽学生的视野，培养学生全方位的思维能力。在这个过程也能让学生明白任何一项成就都需要付出艰辛的努力。引导学生正确看待学习过程中遇到的困难、挫折和失败，树立学好数学的信心，培养刻苦专研的学习态度。
4数学方法论在教学实践中注意的问题
数学方法论是一门实践性的学科，它在教学实践中主要体现在数学思想方法的教学和数学思维的培养。教学中重视如何能将所学到的各种方法和策略应用到实际的数学活动中去，包括以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。
4．1注重渗透的循序渐进和逐步积累
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的，为此，在教学中首先要强调解决问题以后的“反思”。因为在一个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的；其次，要注意渗透的长期性，应该看到，对于数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，需要一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进的渗透和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。正如数学大师波利亚所说：“一个想法使用一次是技巧，经过多次使用，变成为一种方法。”
4．2关注学生最近发展区和层次性
在贯彻数学思想方法地教学中，要关注学生的最进发展区，尽可能帮助学生掌握现代数学思想方法并根据学生的差异，采取不同的思想方法解决问题，帮助学生完成学习迁移。布鲁姆认为，教育的基本任务是找到这样的策略，既考虑到个别的差异，又能促进个体最充分地发展。因此，教师尽可能设计有利于学生发展的教学环节，如在教案设计，课堂探究等过程中，都应该注意不同层次的学生能不同程度的领会数学思想方法，使全体学生尽量使用数学思想方法分析问题、解决问题的思维策略，促成其最近发展区的形成。最终实现使“不同的人在数学上得到不同的发展。”③
4．3提高教师的自身认识和可行性
数学的思想方法通常隐含在数学知识体系中，不是一个显性的知识点。只有掌握了这些数学知识背后的历史背景和发展的来龙去脉以及当时数学家的思维过程，才能在教学设计中设计适当的教学情景，启发学生积极的思考。教师自身对于这一知识蕴含的数学思想的认识将直接影响教学中学生对于它的理解。因为数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现，通常以具体的知识内容为载体。因此，必须把握好数学思想方法教学的契机——概念的形成，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透、依势而行、潜移默化的启发学生领悟蕴含于数学知识中各种数学思想方法。不可因为讲“方法”而方法，生搬硬套。同时注意到在教学活动现场，教学实践总会突破教学理论设置的框架，并按照自己的要求，确立起新的应对情景性需要的灵活多变的思维策略。因此教学理论应用于教学实践的过程，决不是机械地对号入座，这也是对教师教学智慧的一种考验。
5实践中的启示与思考
数学方法论给教师许多启发性的例子，其中蕴含了很多优秀数学家的智慧。在波利亚的《怎样解题》等方法论的著作中，对于数学解题的过程的分析完全可以给中学数学教学以借鉴，我们可以将数学概念、定理的教学按着他的研究方法，将每个细节都呈现给学生，使学生体验到数学前辈们的心路历程，相信数学不是已开始就是以现在完美的形式表现出来的，它也是无数先辈们经过无数次的失败才形成现在比较完美的形式。学生在学习中面临的一些困惑在数学思想发展上也曾经是那些数学家的困惑，从而激发学生极大的求知欲和好奇感，无形中增加了学生学习数学的信心。数学方法论的研究中我们可以发现注重对数学本质的挖掘，关注学生学习的过程和方法是数学教学的重点。通过数学发现过程和典型问题的解题过程分析搭建学生学习的平台，以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。
数学方法论的教学实践，有利于提高教师的专业素质。由“经验型教学”转向“理论指导下的自觉实践”，这需要教师不断充实自己的知识结构，提高自身的施教水平，通过理论指导和教学实践逐渐形成有个性的教学方法和教学理念，同时教师的专业成长离不开自己的反思活动。教师的实践和反思是有机结合的，是相辅相成的。通过教师的教学活动可以让教师获得丰富的教学经验，同时通过反思在真实的教学情景中改进实践。美国一位学者提出了教师成长公式：经验+反思=成长，可见实践与反思是教师积累教育教学经验，提高教学素养的有效方法。在数学方法论的实践和反思中我们也应看到了它存在的一些局限性，绝大部分数学方法论的研究偏重于理论论证，而很少有实践证明，更少研究在中学数学教学中渗透和应用。因为教学理论更多的是追求普遍和一般，而实践更多地体现为个别和特殊。所以我们在数学方法论的实践应用中还需有自己的反思和改进，把理论内化为自己的观念，正真发挥理论指导实践、改造实践的力量。
参考书目：
①徐利治，《数学方法论选讲》华中工学院出版社1983
②郑毓信，《数学方法论入门》浙江教育出版社2008
③刘兼孙晓天，《数学课程标准解读》北京师范大学出版社2002
④李玮，《应重视和加强数学教育理论研究》数学教育学报2006。
⑤波利亚，《怎样解题》上海科技教育出版社2007
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