余弦函数图象教学设计
一、 教学内容与任务分析
本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修四第一章第四节1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。本节课的教学是以之前的任意角的三角函数,三角函数的诱导公式的相关知识为基础,为之后学习正弦型函数 y=Asin (ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。
二、 学习者分析
学生已经学习了任意三角函数的定义,三角函数的诱导公式,并且刚学习三角函数线,这为用几何法作图提供了基础,但能不能正确应用来画图,这还需要老师做进一步的指导。
三、 教学重难点
教学重点:正弦余弦函数图象的做法及其特征
教学难点:正弦余弦函数图象的做法,及其相互间的关系
四、 教学目标
1. 知识与技能目标
(1) 了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图
象
(2) 掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征
(3) 掌握利用图象变换作图的方法,体会图象间的联系 (4) 掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图 2. 过程与方法目标
(1) 通过动手作图,合作探究,体会数学知识间的内在联系 (2) 体会数形结合的思想
(3) 培养分析问题、解决问题的能力 3. 情感态度价值观目标
(1) 养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识 (2) 激发数学的学习兴趣
(3) 体会数学的应用价值
五、 教学过程
一、 复习引入
师:实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而确定的角又有着唯一确定的正弦(或余弦)值。
这样任意给定一个实数x有唯一确定的值sinx(cosx)与之对应,有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域是R。
遇到一个新的函数,我们很容易想到的就是画函数图象,那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢?
我们先来做一个简弦运动的实验,这就是某个简弦函数的图象,通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢
【设计意图】通过动手实验,体会数学与其他的联系,激发学习兴趣。
二、 讲授新课
(1)正弦函数y=sinx的图象
下面我们就来一起画这个正弦函数的图象
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
第二步:在单位圆中画出对应于角0,
,2π的正弦线正弦线
(等价于“列表” ).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的`起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.
【设计意图】通过按步骤自己画图,体会如何画正弦函数的图象。 根据终边相同的同名三角函数值相等,所以函数y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的图象,与函数y=sinx,x∈[0,2∏)的图象的形状完全一致。于是我们只要将y=sinx,x∈[0,2∏)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象. 【设计意图】由三角函数值的关系,得出正弦函数的整体图象。
把角x(x?R)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y
=sinx的图象.
(2)余弦函数y=cosx的图象
探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变得
到余弦函数的图象? 根据诱导公式cosx
?sin(x?
?2
)
,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移
?2
单位即得余弦函数y=cosx的图象.
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系,在类比的过程中画出余弦函数的图象,体会数学知识间的联系,以及类比的数学思想。 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 【设计意图】通过问题,为下面五点法绘图方法介绍做铺垫 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) ((
3?2
?
2
,1) (?,0)
,-1) (2?,0)
?
2
余弦函数y=cosxx?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) ((
3?2
,0) (?,-1)
,0) (2?,1)
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图. 3、 讲解范例
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π],(2)y=-COSx
【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况,巩固画法步骤。
探究1. 如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、 翻转等)来得到
(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π〕的图象; (2)y=sin(x- π/3)的图象?
小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 探究2.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cosx ,x∈〔0,2π〕的图象? 小结:这两个图像关于X轴对称。 探究3.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx ,x∈〔0,2π〕的图象?
小结:先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形,得到 y=-cosx的图象,
再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 探究4.
不用作图,你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。
小结:sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。
【设计意图】通过四个探究问题,对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识。 4、 小结作业
对本节课所学内容进行小结
【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力,自主构建知识体系。 布置分层作业
基础题A题,提高题B题
【设计意图】将课堂延伸,使学生将所学知识与方法再认识和升华,进一步促进学生认知结构内化。注重学生的个体发展,是每个层次的学生都有所进步。
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