高二数学推理与证明
高二数学推理与证明
一. 教学内容：
推理与证明
二. 本周教学目标：
1. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学中的作用。
2. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的模式，并能运用它们进行一些简单的推理。
3. 了解直接证明的两种基本方法分析法与综合法；了解间接证明的一种基本方法反证法。
三. 本周知识要点：
（一）合情推理与演绎推理
1. 归纳推理与类比推理
（1）已知数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算 的值，推测出 的值。
（2）若数列 为等差数列，且 ，则 。现已知数列 为等比数列，且 ，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？
【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）
（1）
由此猜想，
（2）结论：
证明：设等比数列 的公比为 ，则 ，所以
所以
如（1）是从个别事实中推演出一般结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
如（2）是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理。
说明：
（1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
（2）归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同的性质。
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
（3）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性
质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
（4）类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
2. 演绎推理
现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它们的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。
被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小。谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢？
科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。
1. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。
2. 演绎推理的一般模式
分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋的推理过程：
鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提
在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提
喜马拉雅山曾经是海洋……结论
M－P（M是P）
常用格式：
S－M（S是M）
S－P（S是P）
三段论：（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情况
（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么？
（1）因为指数函数 是增函数，
（2）因为无理数是无限小数
而 是指数函数 而是无限小数
所以 是增函数 所以是无理数
（3）因为无理数是无限小数，而 （=0.333……）是无限小数，所以 是无理数
说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色。
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。
（二）直接证明与间接证明
1. 综合法与分析法
（1）综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。
它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。
（2）分析法
我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法，它的特点是：从未知看需知，再逐步靠近已知。
2. 间接证明
反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
（三）数学归纳法
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当n取第一个值 时结论正确；
（2）假设当n=k（k ，且k ）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。
由（1），（2）可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
【典型例题】
例1. 如图所示，在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D，E为垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等。
证明：（1）因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提
在△ABD中，ADBC，ADB＝90，………………………小前提
所以△ABD是直角三角形。 ……………………………………结论
同理，△AEB也是直角三角形
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，………小前提
所以DM＝ ，……………………………………………………结论
同理，EM＝ 。 所以DM＝EM
例2. 已知 ，求证： 。
证法一（综合法）：
证法二（分析法）： ，为了证明 ，
只需证明 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 .
成立，
成立
例3：证明： 不能为同一等差数列的三项。
证明：假设 、 、 为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足
= +md ① = +nd ②
① n－② m得： n－ m= （n－m）
两边平方得： 3n2+5m2－2 mn=2（n－m）2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数 无理数
所以，假设不正确。即 、 、 不能为同一等差数列的三项
例4. 通过计算可得下列等式：
……
将以上各式分别相加得：
即：
类比上述求法：请你求出 的值。
解：
……
将以上各式分别相加得：
所以：
例5.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用 表示某鱼群在第 年年初的总量， ，且 ＞0。不考虑其它因素，设在第 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 成正比，死亡量与 成正比，这些比例系数依次为正常数 。
（Ⅰ）求 与 的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当 ， 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n ，从而由（*）式得
因为x10，所以ab。
猜测：当且仅当ab，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变。
【模拟试题】
1. 如果数列 是等差数列，则
A. B.
C. D.
2. 下面使用类比推理正确的是
A. “若 ，则 ”类推出“若 ，则 ”
B. “若 ”类推出“ ”
C. “若 ” 类推出“ （c0）”
D. “ ” 类推出“ ”
3. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误
4. 设 ， ，nN，则
A. B. － C. D. －
5. 在十进制中 ，那么在5进制中数码2004折合成十进制为
A. 29 B. 254 C. 602 D. 2004
6. 函数 的图像与直线 相切，则 =
A. B. C. D. 1
7. 下面的四个不等式：① ；② ；③ ；④ 。其中不成立的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系： 。若三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 。
9. 从 中，可得到一般规律为 （用数学表达式表示）
10. 函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则f（1），f（2.5），f（3.5）的大小关系是 。
11. 在△ABC中， ，判断△ABC的形状
12. △ABC三边长 的倒数成等差数列，求证： 。
13. 在各项为正的数列 中，数列的前n项和 满足
（1） 求 ；（2） 由（1）猜想数列 的通项公式；（3） 求
【试题答案】
1. B 2. C 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A
8. .
9.
10. f（2.5）f（1）f（3.5）
11. ABC是直角三角形； 因为sinA=
据正、余弦定理得 ：（b+c）（a2－b2－c2）=0；
又因为a，b，c为 ABC的三边，所以 b+c 0
所以 a2=b2+c2
即 ABC为直角三角形。
12. 证明： =
为△ABC三边，
，
13. （1） ；
（2） ；
（3） 。
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