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公式法的教案

时间:2024-04-18 15:19:14

关于公式法的教案范本

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  教学内容

  1.一元二次方程求根公式的推导过程;

  2.公式法的概念;

  3.利用公式法解一元二次方程.

  教学目标

  理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.

  复习具体数字的一元二次方程配方法 的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.

  重难点关键

  1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.

  2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.

  教学过程

  一、复习引入

  (学生活动)用配方法解下列 方程

  (1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52

  (老师点评) (1)移项,得:6x2-7x=-1

  二次项系数化为1,得:x2- x=-

  配方,得:x2- x+( )2=- +( )2

  (x- )2=

  x- = x1= + = =1

  x2=- + = =

  (2)略

  总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点 评).

  (1)移项;

  (2)化二次项系数为1;

  (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

  (4 )原方程变形为(x+m)2=n的形式;

  (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

  二、探索新知

  如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.

  问题:已知ax2+b x +c=0(a0)且b2-4ac0,试推导它的两个根x1= ,x2=

  分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

  解:移项,得:ax2+bx=-c

  二次项系数化为1,得x2+ x=-

  配方,得:x2+ x+( )2=- +( )2

  即(x+ )2=

  ∵b2-4ac0且4a20

  0[来源:ZXXK]

  直接开平方,得:x+ =

  即x=

  x1= ,x2=

  由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a 、b、c而定,因此:

  (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.

  (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

  (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

  (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.

  例1.用公式法解下列方程.

  (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2

  (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

  分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.

  解:(1)a=2,b=-4,c=-1

  b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240

  x=

  x1= ,x2=

  (2)将方程化为一般形式

  3x2-5x-2=0

  a=3,b=-5,c=-2

  b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490

  x=

  x1=2,x 2=-

  (3)将方程化为一般形式

  3x2-11x+9=0

  a=3,b=-11,c=9

  b2-4ac=(-11)2-439=130

  x=

  x1= ,x2=

  (3)a=4,b=-3,c=1

  b2-4ac=(-3)2-441=-70

  因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根.

  三、巩固练习

  教材P42 练习1.(1)、(3)、(5)

  四、应用拓展

  例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题.

  (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.

  (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.

  你能解决这个问题吗?

  分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还 要满足(m+1)0.

  (2)要使它为一元一次方程,必须满足:

  ① 或② 或③

  解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2

  m2=1 m=1

  当m =1时,m+1=1+1=20

  当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)

  当m=1时,方程为2x2-1-x=0

  a=2,b=-1,c=-1

  b2-4ac=(-1)2-42 (-1)=1+8=9

  x=

  x1=,x2=-

  因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- .

  (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0

  因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-10

  所以m=0满足题意.

  ②当m2+1=0,m不存在.

  ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-30

  所以m=-1也满足题意.

  当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,

  解得:x=-1

  当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0

  解得x=-

  因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x= -1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- .

  五、归纳小结

  本节课应掌握:

  (1)求根公式的概念及其推导过程;

  (2)公式法的概念;

  (3)应用公式法解一元二次方程;

  (4)初步了解一元二次方程根的情况.

  六、布置作业

  1.教材P45 复习巩固4.

  2.选用作业设计:

  一、选择题

  1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ).

  A.x= B.x=

  C.x= D.x=

  2.方程 x2+4 x+6 =0的根是( ).

  A.x1= ,x2= B.x1=6,x2=

  C.x1=2 ,x2= D.x1=x2=-

  3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ).

  A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2

  二、填空题

  1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是________,条件是________.

  2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.

  3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.

  三、综合提高题

  1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.

  2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,(1)试推导x1+x2=- ,x1(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.

  3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时 ,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费.

  (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)

  (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

  月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元)

  3 80 25

  4 45 10

  根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?

  答案:

  一、1.D 2.D 3.C

  二、1.x= ,b2-4ac0 2.4 3.-3

  三、1.x= =a│b│

  2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a0)的两根,

  x1= ,x2=

  x1+x2= =- ,

  x1x2= =

  (2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0

  原式=ax13+bx12 +c1x1+ax23+bx22+cx2

  =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)

  =0

  3.(1)超过部分电费=(90-A) =- A2+ A

  (2)依题意,得:(80-A) =15,A1=30(舍去),A2=50

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